Question

16．如圖，線段AB是⊙O的弦，點P在⊙O上（點P不與點A、點B重合），連接AP、BP，若將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經過圓心O，則∠APB的大小為60°或120度．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，交⊙O于C，連接OA、OB、AC、BC，如圖，利用折疊性質得AB垂直平分OC，則利用垂徑定理得到OC垂直平分AB，所以可判斷四邊形ACBO為菱形，易得△AOC和△BOC都是等邊三角形，則∠AOC=∠BOC=∠ACO=∠BCO=60°，所以∠AOB=∠ACB=120°，然后討論：當點P在優弧AB上，則∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°；當點P在劣弧AB上，則∠APB=∠ACB=120°．

解答 解：作OD⊥AB于D，交⊙O于C，連接OA、OB、AC、BC，如圖，
∵⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經過圓心O，
∴AB垂直平分OC，
∴OC垂直平分AB，
∴四邊形ACBO為菱形，
∴OA=OB=AC=BC，
∴△AOC和△BOC都是等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOC=∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠AOB=∠ACB=120°，
當點P在優弧AB上，則∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°；
當點P在劣弧AB上，則∠APB=∠ACB=120°．
故答案為60°或120．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．