Question

6．如圖，一次函數y=ax-b與正比例函數y=kx的圖象交于第三象限內的點A，與y軸交于B（0，-4），且OA=AB，△AOB的面積為6．
（1）求兩個函數的解析式；
（2）若有一個點M（2，0），直線BM與AO交于點P，求點P的坐標；
（3）在x軸上是否存在點E，使S_△ABE=5？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的三線合一得出OD=$\frac{1}{2}$OB=2，再用三角形的面積求出AD=3，即可得出結論；
（2）利用待定系數法求出直線BM的解析式和正比例函數解析式，聯立即可得出結論；
（3）利用三角形的面積的差，建立方程求解即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，
作AD⊥OB軸于D，
∵B（0，-4），
∴OB=4，
∵OA=AB，
∴OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵S_△AOB=6，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AD=$\frac{1}{2}$×4AD=6，
∴AD=3
而點A在第三象限內，則A（-3，-2），
又點A在y=kx上，
∴-2=-3k，∴k=$\frac{2}{3}$，
∴正比例函數解析式為：y=$\frac{2}{3}$x，
又y=ax-b通過A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-3a-b}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴一次函數解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x-4
（2）由（1）知，正比例函數解析式為：y=$\frac{2}{3}$x①，
∵B（0，-4），M（2，0），
∴直線BM的解析式為y=2x-4②，
聯立①②得，點P（3，2），
（3）如圖2，
由（1）知，一次函數解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x-4
∴C（-6，0）
∵點E在x軸上，設E（x，0），
∴CE=|x+6|，
∵S_△ABE=5，
S_△ABE=S_△BCE-S_△ACE=$\frac{1}{2}$BE•|yB|-$\frac{1}{2}$BE•|yA|=$\frac{1}{2}$BE•（|yB|-|yA|）=$\frac{1}{2}$•|x+6|•（4-2）=|x+6|=5
∴x=-1或x=-11；
∴E（-1，0）或（-11，0）能夠使得△ABE的面積為5．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法，三角形的面積公式，解方程，解本題的關鍵是求出函數解析式，是一道比較簡單的題目．