Question

如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面積；
（2）求點C坐標；
（3）點P是x軸上的一個動點，設P（x,0）
①請用x的代數式表示PB²、PC²；
②是否存在這樣的點P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請說明理由；
如果存在，請求出點P的坐標.

Answer 1

(1)6；（2）（7，4）；（3）①，；②存在這樣的P點，P（3，0）.

試題分析：（1）先由直線求出A、B兩點的橫坐標，即OA、OB的長，從而可求出△AOB的面積；
（2）過C點作CD⊥x軸，垂足為D，構造Rt△ADC.易證△OAB≌△DCA，從而可求出CD=4，OD=7,所以C點坐標為（7，4）；
（3）①由（2）可知，PD=7-x，在Rt△OPB中，，Rt△PCD中，
②存在這樣的P點．P（3，0）.
試題解析：（1）由直線，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，∴S_△AOB=×4×3=6；
（2）過C點作CD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，則OD=4+3=7，
∴C（7，4）；
（3）①由（2）可知，PD=7-x，
在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，
Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，
②存在這樣的P點．
設B點關于 x軸對稱的點為B′，則B′（0，-3），
連接CB′，設直線B′C解析式為y=kx+b，將B′、C兩點坐標代入，得
解得
所以，直線B′C解析式為y=x-3，
令y=0，得P（3，0），此時|PC-PB|的值最大，