Question

（本小題10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.
（Ⅰ）求證：△AMB≌△ENB；
（Ⅱ）①當M點在何處時，AM＋CM的值最小；
②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；
（Ⅲ）當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.
 

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等邊三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠ABM＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分
⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小. ………………5分
②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，

AM＋BM＋CM的值最小.                          ………………7分
理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根據“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長. …………8分
⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
設正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF²＋FC²＝EC²，
∴（）²＋（x＋x）²＝.
解得，x＝（舍去負值）.
∴正方形的邊長為.                         ………………10分          

略