Question

【題目】如圖所示，點A為半圓O直徑MN所在直線上一點，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點順時針轉動，轉過的角度記作a；設半圓O的半徑為R，AM的長度為m，回答下列問題：

探究：（1）若R=2，m=1，如圖1，當旋轉30°時，圓心O′到射線AB的距離是　 　；如圖2，當a=　 　°時，半圓O與射線AB相切；

（2）如圖3，在（1）的條件下，為了使得半圓O轉動30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長度不變的條件下，調整半徑R的大小，請你求出滿足要求的R，并說明理由．

（3）發現：（3）如圖4，在0°＜α＜90°時，為了對任意旋轉角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R、m兩個量的關系，請你幫助他直接寫出這個關系；

cosα=　 　（用含有R、m的代數式表示）

拓展：（4）如圖5，若R=m，當半圓弧線與射線AB有兩個交點時，α的取值范圍是　 　，并求出在這個變化過程中陰影部分（弓形）面積的最大值（用m表示）

Answer 1

【答案】（1） +1；60°；（2）4+2；（3） ；（4） m2．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．如圖2中，設切點為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=，推出α=60°．
（2）設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問題．
（3）設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問題、
（4）當半圓與射線AB相切時，之后開始出現兩個交點，此時α=90°；當N′落在AB上時，為半圓與AB有兩個交點的最后時刻，此時∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當半圓弧線與射線AB有兩個交點時，α的取值范圍是：90°＜α≤120°．當N′落在AB上時，陰影部分面積最大，求出此時的面積即可．

試題解析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．想辦法求出O′E的長即可．

在Rt△MFO′中，∵∠MOF=30°，MO′=2，

∴O′F=O′Mcos30°=，O′E=+1，

∴點O′到AB的距離為+1．

如圖2中，設切點為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，

∴AE=O′F=2，

∵AM=1，

∴EM=1，

在Rt△O′EM中，sinα= ，

∴α=60°

故答案為 +1，60°．

（2）設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．

∵O′P=R，

∴R= R+1，

∴R=4+2．

（3）設切點為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．

在Rt△O′QM中，O′Q=Rcosα，QP=m，

∵O′P=R，

∴Rcosα+m=R，

∴cosα=．

故答案為．

（4）如圖5中，

當半圓與射線AB相切時，之后開始出現兩個交點，此時α=90°；當N′落在AB上時，為半圓與AB有兩個交點的最后時刻，此時∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當半圓弧線與射線AB有兩個交點時，α的取值范圍是：90°＜α≤120°

故答案為90°＜α≤120°；

當N′落在AB上時，陰影部分面積最大，

所以S═ ﹣ m m= m2．