Question

（2004•上海）數學課上，老師提出：
如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A點的坐標為（1，0），點B在x軸上，且在點A的右側，AB=OA，過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數y=x²的圖象于點C和D，直線OC交BD于點M，直線CD交y軸于點H，記點C、D的橫坐標分別為x_C、x_D，點H的縱坐標為y_H．
同學發現兩個結論：
①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3 ②數值相等關系：x_C•x_D=-y_H
（1）請你驗證結論①和結論②成立；
（2）請你研究：如果上述框中的條件“A的坐標（1，0）”改為“A的坐標（t，0）（t＞0）”，其他條件不變，結論①是否仍成立（請說明理由）；
（3）進一步研究：如果上述框中的條件“A的坐標（1，0）”改為“A的坐標（t，0）（t＞0）”，又將條件“y=x²”改為“y=ax²（a＞0）”，其他條件不變，那么x_C、x_D與y_H有怎樣的數值關系？（寫出結果并說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據AB=OA得出B點的坐標，然后根據拋物線的解析式和A，B的坐標得出C，D兩點的坐標，再依據C點的坐標求出直線OC的解析式．進而可求出M點的坐標，然后根據C、D兩點的坐標求出直線CD的解析式進而求出D點的坐標，然后可根據這些點的坐標進行求解即可；
（2）（3）的解法同（1）完全一樣．
解答：解：（1）由已知可得點B的坐標為（2，0），點C坐標為（1，1），點D的坐標為（2，4），
由點C坐標為（1，1）易得直線OC的函數解析式為y=x，
故點M的坐標為（2，2），
所以S_△CMD=1，S_梯形ABMC=
所以S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，
即結論①成立．
設直線CD的函數解析式為y=kx+b，
則，
解得
所以直線CD的函數解析式為y=3x-2．
由上述可得，點H的坐標為（0，-2），y_H=-2
因為x_C•x_D=2，
所以x_C•x_D=-y_H，
即結論②成立；

（2）（1）的結論仍然成立．
理由：當A的坐標（t，0）（t＞0）時，點B的坐標為（2t，0），點C坐標為（t，t2），點D的坐標為（2t，4t2），
由點C坐標為（t，t2）易得直線OC的函數解析式為y=tx，
故點M的坐標為（2t，2t2），
所以S_△CMD=t3，S_梯形ABMC=t3．
所以S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，
即結論①成立．
設直線CD的函數解析式為y=kx+b，
則，
解得
所以直線CD的函數解析式為y=3tx-2t²；
由上述可得，點H的坐標為（0，-2t2），y_H=-2t²
因為x_C•x_D=2t²，
所以x_C•x_D=-y_H，
即結論②成立；

（3）由題意，當二次函數的解析式為y=ax²（a＞0），且點A坐標為（t，0）（t＞0）時，點C坐標為（t，at²），點D坐標為（2t，4at²），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
則：，
解得
所以直線CD的函數解析式為y=3atx-2at²，則點H的坐標為（0，-2at²），y_H=-2at²．
因為x_C•x_D=2t²，
所以x_C•x_D=-y_H．
點評：本題主要考查了二次函數的應用、一次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象的交點等知識點．