Question

【題目】如圖①．拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸、y軸分別交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C三點．

（1）求a和b的值；

（2）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC、BD、CD，在對稱軸左側的拋物線上存在一點P，滿足∠PBC＝∠DBC，請求出點P的坐標；

（3）如圖②，在（2）的條件下將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B'O'C'在平移過程中，△B'O'C'與△BCD重疊部分的面積記為S，設平移的時問為t秒，請直接寫出S與t之間的函數關系式（并注明自變量的取值范圍）．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，b＝2；（2）存在，P（﹣，）；（3）．

【解析】

（1）將點A、B代入解析式即可求出a、b的值．

（2）根據已知條件求出點D的坐標，并且由線段OC、OB相等、CD∥x軸及等腰三角形性質證明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出點G的坐標，求出直線BP的解析式，聯立二次函數解析式，求出點P的坐標．

（3）分兩種情況，第一種情況重疊面積為四邊形，利用大三角形減去兩個小三角形求得解析式，第二種情況重疊部分為三角形，可利用三角形的面積公式求得．

（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線，

，

解得a＝﹣1，b＝2．

（2）存在，

將點D代入拋物線的解析式得：m＝3，

∴D（2，3），

令x＝0，y＝3，

∴C（0，3），

∴OC＝OB，

∴∠OCB＝∠CBO＝45°，

如圖1所示，

∵CD∥x軸，

∴∠DCB＝∠BCO＝45°，

在△CDB和△CGB中，

∴△CDB≌△CGB（ASA），

∴CG＝GD＝2，

∴OG＝1，

∴G（0，1），

設直線BP：y＝kx+1，

代入點B，

∴k＝﹣ ，

∴直線BP：y＝﹣x+1，

聯立直線BP和二次函數解析式，

解得 或 （舍），

∴P．

（3）直線BC：y＝﹣x+3，直線BD：y＝﹣3x+9，

當0≤t≤2時，如圖2所示，

設直線B′C′：y＝﹣（x﹣t）+3，

聯立直線BD求得F（），

S＝．

當2＜t≤3時，如圖3所示，

H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3），

S＝×（3﹣t）＝t2﹣6t+9，

綜上所述：．