Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD）. 若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交線段DA于點H、G.

（1） 求證：PG=PF；

（2） 探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論： ，證明見解析.

【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，

∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，

由旋轉可知∠GPF=∠HPD=90°，

∴∠GPH=∠FPD ，

∵∠HPD=90°，∠ADP=45°，

∴△HPD為等腰直角三角形 ，

∴∠DHP=∠PDF=45°且PH=PD ，

∴△HPG≌△DPF ，

∴PG=PF ；

（2）結論： ，

∵△HPD為等腰直角三角形，

∴ HD2=2，

∴，

∵△HPG≌△DPF，

∴DF=HG，

∴，

∴.