Question

【題目】提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．

背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的“等分積周線”．嘗試解決：

（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出．請你幫小明在圖1中畫出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．

（2）小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小華會成功嗎如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．

（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你解決下面的問題：若AB=BC=5cm，AC=6cm，請你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）不會；（3）答案見解析．

【解析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質，作線段AC的中垂線BD即可．

（2）小華不會成功．直線CD可能平分△ABC的面積，若也平分周長，則AC=BC，與題中的AC≠BC沖突，故不會成功；

（3）①若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．②若直線不過頂點，可分以下三種情況考慮：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直線與AB、AC分別交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直線與AB、BC分別交于P、Q，此種情況不存在．則符合條件的直線共有三條．

（1）作線段AC的中垂線BD即可．

（2）小華不會成功．

若直線CD平分△ABC的面積，過C作CE⊥AB于E，那么S△ADC=S△DBC，

∴ADCE=BDCE，

∴BD=AD．

∵AC≠BC，

∴AD+AC≠BD+BC，

∴小華不會成功．

（3）①若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．

②若直線不過頂點，可分以下三種情況：

（a）直線與BC、AC分別交于E、F，如圖1所示．

過點E作EH⊥AC于點H，過點B作BG⊥AC于點G．

易求，BG=4，AG=CG=3．

設CF=x，則CE=8﹣x，由△CEH∽△CBG，可得EH=．

根據面積相等，可得，∴x=3（舍去，即為①）或x=5，

∴CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線．

（b）直線與AB、AC分別交于M、N，如圖2所示．

由（a）可得：AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．

（c）直線與AB、BC分別交于P、Q，如圖3所示．

過點A作AY⊥BC于點Y，過點P作PX⊥BC于點X．

由面積法可得：AY=，設BP=x，則BQ=8﹣x，

由相似，可得PX= ，根據面積相等，可得，

∴（舍去），或．

而當BP=時，BQ=，舍去，∴此種情況不存在．

綜上所述：符合條件的直線共有三條．