Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且點C是的中點，過點 C作AD的垂線 EF交直線 AD于點 E．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）連接BC，若AB=5，BC=3，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質、平行線的判定得到OC∥AE，得到OC⊥EF，根據切線的判定定理證明；

（2）根據勾股定理求出AC，證明△AEC∽△ACB，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．

（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠BAC，

∵點C是的中點，

∴∠EAC=∠BAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴AC==4，

∵∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，

∴△AEC∽△ACB，

∴，

∴AE=．