Question

【題目】如圖1所示,雙曲線y= (k≠0)與拋物線y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三點,已知B(4,2),C(-2,-4),直線CO交雙曲線于另一點D,拋物線與x軸交于另一點E.

(1)求雙曲線和拋物線的解析式;

(2)在拋物線上是否存在點P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,請求出滿足條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)如圖2所示,過點B作直線L⊥OB,過點D作DF⊥L于F,BD與OF交于點P,求的值.

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y=，拋物線的解析式為y= ；（2）滿足條件的P點有一個(18,-54)；（3）

【解析】試題分析：

（1）把點B、C的坐標分別代入反比例函數和拋物線的解析式用待定系數法即可求得兩個函數的解析式了；

（2）連接BD，由點C的坐標可得直線OC的解析式為y=2x，及直線OC與的另一個交點D的坐標為（2，4），結合點B的坐標可得BC= ,DB= ,CD= ，由此根據勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°及tan∠ BDC=，再證∠POE=∠BDC即可

得到tan∠POE=3，從而說明點P在直線y=3x或y=-3x上，結合點P又在拋物線上，即可分兩種情況進行討論求出點P的坐標了；

（3）如圖2，由點B的坐標可得直線OB的解析式為y= ，由l⊥OB且過點B可求得l的解析式為y=-2x+10，由DF∥OB結合點D的坐標可求得直線DF的解析式為y=x+3，這樣由l和DF的解析式可求得點F的坐標，這樣就可得求得DF的長了，結合OB的長和DF∥OB即可由平行線分線段成比例求得的值了.

試題解析：

(1)把B(4,2)代人y= (k≠0)得2=元,解得k=8z，

∴雙曲線的解析式為y=，

把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得，

，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y= ；

(2)連接DB,

∵C(-2,-4),

∴直線OC的解析式為y=2x且與y= 的另一個交點D(2,4)，

∴由兩點間距離公式得BC= ,DB= ,CD= ，

∴BC2+DB2=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴tan∠ BDC=.

∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,

∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.

∴P在直線y=3x或y=-3x上,故有兩種情況:

解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);

，

解得(0,0)(舍)或(18,-54)，

故可得出滿足條件的P點有一個(18,-54)；

(3)由B(4,2)可得直線OB解析式y= ，

由OB⊥l可得l的解析式為y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,

∴l的解析式為y=-2x+10，

由DF⊥l，OB⊥l可得DF∥OB,

∴可設DF解析式y= x+b2，把D(2，4)代入得b2=3.

∴DF的解析式為y=x+3，

把DF的解析式與l的解析式聯立可得：

解得： ，

∴ ，

∴DF= ，OB=

.∵DF∥OB，

∴.