Question

（2012•江干區一模）菱形ABCD中，如果

3

AB²=BD•AC，則∠ABC的度數是（　　）

A．60°

B．30°

C．60°或120°

D．30°或150°

Answer 1

分析：首先設AB=a，由四邊形ABCD是菱形，即可求得OA²+OB²=AB²=a²，又由

3

AB²=BD•AC，易求得OA•OB=

3

4

a²，繼而求得OA+OB=

1+ 3

2

a，則可知OA，OB是方程：x²-

1+ 3

2

ax+

3

4

a=0的解，繼而求得OA的值，然后利用特殊角的三角函數值，求得∠ABC的度數．

解答：解：設AB=a，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，OB=

1

2

BD，
∴在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²=a²，
∵

3

AB²=BD•AC=4OA•OB=

3

a²，
∴OA•OB=

3

4

a²，
∴（OA+OB）²=OA²+OB²+2OA•OB=a²+

3

2

a²=

2+ 3

2

a²，
∴OA+OB=

1+ 3

2

a，
∴OA，OB是方程：x²-

1+ 3

2

ax+

3

4

a=0的解，
解得：x₁=

1

2

，x₂=

3

2

a，
當OA=

1

2

a時，sin∠ABO=

OA

AB

=

1

2

，
∴∠ABO=30°，
∴∠ABC=2∠ABO=60°；
當OA=

3

2

a時，sin∠ABO=

OA

AB

=

3

2

，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=2∠ABO=120°．
∴∠ABC的度數是：60°或120°．
故選C．

點評：此題考查了菱形的性質、勾股定理、特殊角的三角函數值以及一元二次方程的根與系數的關系．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、方程思想與分類討論思想的應用．