Question

【題目】如圖，點是圓上一動點，弦，是的平分線，.

（1）當等于多少度時，四邊形有最大面積？最大面積是多少？

（2）當的長為多少時，四邊形是梯形？說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，四邊形的面積最大，面積為；（2）當或2 時，四邊形為梯形.

【解析】

（1）先求得AC=BC，再根據已知條件得S四邊形PACB=S△ABC+S△PABS△ABC，當S△PAB最大時，四邊形PACB面積最大，求出PC=2，從而計算出最大面積；

（2）已知四邊形PACB為梯形，分兩種情況：AC∥PB或PA∥BC，求出PA的長．

（1）∵PC平分∠APB，

∴∠APC=∠BPC，

∴AC=BC

由AB＝cm，∠BAC＝30°，求得AC=BC=1cm，

∵S四邊形PACB=S△ABC+S△PAB，

S△ABC為定值，

當S△PAB最大時，四邊形PACB面積最大，

在△PAB中，AB邊不變，其最長的高為過圓心O與AB垂直（即AB的中垂線）與圓O交點P，此時四邊形PACB面積最大．易得△PAB為等邊三角形，PC為圓的直徑，∠PAC=90°，

∵∠APC=∠BAC=30°

∴PC=2AC=2，

∴四邊形PACB的最大面積為(cm2)；

（2）若四邊形PACB為梯形，則當AC∥PB時

由（1）知AC=BC=1，∠CAB=∠PBA=30°，

∴PA=BC=1，

當PA∥BC時，則∠PAB=∠ABC=30°，

在△PBA中，∠APB=60°，

∴∠ABP=180°-60°-30°=90°，

∴此時PA為圓的直徑，由（1）知，直徑PA=2，

∴當PA=1或2時，四邊形PACB為梯形．