Question

【題目】如圖，正方形ABCD中．點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形．連接AC交EF于點G．過點G作GH⊥CE于點H．若 ，則 =（ ）

A.6
B.4
C.3
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AE=AF，AB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG=GF，
∵GH⊥CE，
∴GH∥CF，
∴△EGH∽△EFC，
∵S△EGH=3，
∴S△EFC=12，
∴CF= ，EF= ，
∴AF= ，設(shè)AD=x，則DF=x﹣ ，
∵AF2=AD2+DF2 ，
∴（ ）2=x2+（x﹣ ）2 ，
∴x= ，
∴AD= ，DF= ，
∴S△ADF= ADDF=6．
故答案為：A．
根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)易證明AE=AF，AB=AD，根據(jù)直角三角形全等判定證明Rt△ABE≌Rt△ADF，得出BE=DF，從而證得CE=CF，得出△CEF是等腰直角三角形，再證明GH∥CF，得出△EGH∽△EFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及S△EGH=3，求出△EFC的面積，從而求出AF和CE的長，然后設(shè)AD=x，利用勾股定理求出AD的長及DF的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案。