Question

【題目】已知：二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；
（3）若拋物線上有一動點P，使三角形ABP的面積為6，求P點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為二次函數y=x2+bx+c的圖象經過A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以 ，

解得 ．

所以一次函數解析式為y=x2+2x﹣3

（2）解：∵拋物線對稱軸x=﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），

∴C、D關于x軸對稱，連接AC與對稱軸的交點就是點P，

此時PA+PD=PA+PC=AC= = =3

（3）解：設點P坐標（m，m2+2m﹣3），

令y=0，x2+2x﹣3=0，

x=﹣3或1，

∴點B坐標（1，0），

∴AB=4

∵S△PAB=6，

∴ 4|m2+2m﹣3|=6，

∴m2+2m﹣6=0，m2+2m=0，

∴m=0或﹣2或1+ 或1﹣ ．

∴點P坐標為（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）．

【解析】（1）把A、D兩點坐標代入二次函數y=x2+bx+c，解方程組即可解決．（2）利用軸對稱找到點P，用勾股定理即可解決．（3）根據三角形面積公式，列出方程即可解決．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．，以及對軸對稱-最短路線問題的理解，了解已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．