Question

【題目】已知在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120°，E為線段BC上的一個動點（不與B，C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長線相交于點G，

（1）如圖1，當AE⊥BC時，求線段BE、CG的長度．

（2）如圖2，點E在線段BC上運動時，連接DE，DF，△BEF與△CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．

（3）如圖2，設BE=x，△DEF的面積為y，試求出y關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】（1）BE=3，EG =；（2）是定值，為15+5；（3）y=﹣x2+（0＜x＜10）．

【解析】

（1）先求出BE，AE，進而求出BF，EF，再用平行四邊形的面積求出FG，即可得出結論；

（2）先求出BH，AH，再用相似表示出BF，EF，進而得出CG，EG，即可得出結論；

（3）利用三角形的面積公式即可得出結論．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAD+∠B=180°，

∵∠BAD=120°，

∴∠B=60°，

∵AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=6，

∴BE=3，AE=3，

∵EF⊥AB，

∴∠BFE=90°，

在Rt△BEF中，∠BEF=30°，

∴BF=BE=，EF=，

∵SABCD=BC×AE=AB×FG，

∴10×3=6FG，

∴FG=5，

∴EG=FG﹣EF=；

（2）如圖2，

過點A作AH⊥BC于H，

∵∠B=60°，

∴BH=3，AH=3，

∵∠AHB=∠BFE=90°，∠B=∠B，

∴△ABH∽△EBF，

∴，

設BE=a，

∴，

∴BF=a，EF=a，

∵AB∥CD，

∴△BEF∽△CEG，

∴，

∴，

∴CG=（10﹣a），EG=（10﹣a），

∴C△BEF+C△CEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+a+a+10﹣a+（10﹣a）+（10﹣a）=10+5+5=15+5；

（3）同（2）的方法得，EF=x，CG=（10﹣x），

∴DG=CD+CG=6+5﹣x=11﹣x，

∴S△DEF=EF×DG=×x×（11﹣x）=﹣x2+（0＜x＜10）．