Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E在某個(gè)位置時(shí)，使△BDE的周長(zhǎng)最小，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于兩點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴此拋物線的解析式為：y=x2﹣3x﹣4

（2）解：如圖1，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF交AC于點(diǎn)E，

由（1）得，拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4，

∴D（0，﹣4），

∵直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C，

∴ 解得， 或 ，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∵直線AC解析式為y=﹣x+4，直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直線BF解析式為y=x+1，

設(shè)點(diǎn)F（m，m+1），

∴G（ ， ），

∵點(diǎn)G在直線AC上，

∴﹣ +4= ，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直線DF解析式為y= x﹣4，

解 得

∴直線DF和直線AC的交點(diǎn)E（ ， ）．

【解析】（1）直接把點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0）代入拋物線y=ax2+bx﹣4求出a、b的值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式；（2）先判斷出周長(zhǎng)最小時(shí)BE⊥AC，即作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)E，聯(lián)立方程組即可．
【考點(diǎn)精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和軸對(duì)稱-最短路線問題對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．