Question

如圖，經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2），N（1，-2）的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求b的值．
（2）若OC²=OA•OB，試求拋物線的解析式．
（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式列的方程組，解方程組即可求得b的值；
（2）根據(jù)（1）可求得僅有一個(gè)未知系數(shù)的解析式y(tǒng)=ax²-2x-a，根據(jù)已知得：OC=a，OA=-x₁，OB=x₂，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列方程求得a的值，求得二次函數(shù)的解析式；
（3）首先要確定點(diǎn)P的位置，即找到點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，直線BC與函數(shù)對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是所求的P點(diǎn)；求得直線BC的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得

a-b+c=2，① a+b+c=-2．②

②-①，得
2b=-4
∴b=-2．

（2）由（1）b=-2，a+c=0
所以拋物線的解析式可寫為y=ax²-2x-a
則C（0，-a）
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）
則x₁，x₂是方程ax²-2x-a=0的二根
從而x₁x₂=-1
由所給圖形可知OC=a，OA=-x₁，OB=x₂
∵OC²=OA•OB
∴a²=-x₁x₂
∴a²=1
∴a=1（a＞0）
∴拋物線解析式為y=x²-2x-1．

（3）在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長最小．
∵AC長為定值
∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最小
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B，由幾何知識(shí)知PA+PC=PB+PC，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為所求點(diǎn)P．
由（2）知B（

2

+1，0），C（0，-1），經(jīng)過點(diǎn)B（

2

+1，0），C（0，-1）的直線為y=（

2

-1）x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=

2

-2．
即P（1，

2

-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，要注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，還要注意根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．