Question

（2011•遼陽）如圖，⊙O經過點B、D、E，BD是⊙O的直徑，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）試說明直線AC是⊙O的切線；
（2）當AE=4，AD=2時，求⊙O的半徑及BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，證明出∠AEO=90°，即可說明直線AC是⊙O的切線；
（2）知道OE∥BC，利用平行線分線段成比例定理即可解答．

解答：（1）證明：連接OE．
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE∥BC．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑為r，在Rt△AEO中，由勾股定理可得OA²=OE²+AE²．
∵AE=4，AD=2，
∴（2+r）²=r²+4²．
∴r=3．
∵OE∥BC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

．
∴

2+3

2+6

=

3

BC

．
∴BC=

24

5

．

點評：本題考查了切線的判定、勾股定理和平行線分線段成比例定理，是一道綜合題，但難度不大．