Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若OF⊥BD于點F，且OF＝2，BD＝4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S陰影＝.

【解析】

（1）首先連接OD，由BC是⊙O的切線，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易證得∠ODC=∠ABC=90°，即可證得CD為⊙O的切線；
（2）在Rt△OBF中，求出∠ABD=30°，得出∠BOD的度數(shù)，又由S陰影=S扇形OBD-S△BOD，即可求得答案．

（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵BC是⊙O的切線，

∴∠ABC＝90°，

∵CD＝CB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ODC＝∠ABC＝90°，

即OD⊥CD，

∵點D在⊙O上，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：∵OF⊥BD，

∴BF＝BD＝2，OB＝ ＝ ＝4，

∴OF＝OB，

∴∠OBF＝30°，

∴∠BOF＝60°，

∴∠BOD＝2∠BOF＝120°，

∴S陰影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝ ﹣×4×2＝ ﹣4．