Question

已知 x₁，x₂是關于x的一元二次方程（m-1）²x²-（2m-5）x+1=0的兩個實數根．
（1）若p=

1

x1

+

1

x2

，求p的取值范圍．
（2）問x₁，x₂能否同為正數？若能同為正數，求出m相應的取值范圍；若不能同時為正數，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據一元二次方程和根的判別式得到得m-1≠0且△=（2m-5）²-4（m-1）²≥0，解得m≤

7

4

且m≠1；再根據根與系數的關系得到p=

x1+x2

x1•x2

=2m-5，
則m=

p+5

2

，所以

p+5

2

≤

7

4

且

p+5

2

≠1，然后解關于p的兩個不等式求出公共部分即可；
（2）根據根與系數的關系得x₁+x₂=

2m-5

(m-1)2

，x₁•x₂=

1

(m-1)2

，利用2m-5≤-

3

2

可判斷x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，所以x₁，x₂都是負數．

解答：解：（1）根據題意得m-1≠0且△=（2m-5）²-4（m-1）²≥0
解得m≤

7

4

且m≠1；
∵x₁+x₂=

2m-5

(m-1)2

，x₁•x₂=

1

(m-1)2

，
∴p=

x1+x2

x1•x2

=2m-5，
∴m=

p+5

2

，
∴

p+5

2

≤

7

4

且

p+5

2

≠1，
∴p≤-

3

2

且p≠-3；

（2）x₁，x₂不能同時為正數．理由如下：
∵x₁+x₂=

2m-5

(m-1)2

，x₁•x₂=

1

(m-1)2

，
而2m-5≤-

3

2

，
∴x₁+x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴x₁，x₂都是負數，
即x₁，x₂不能同時為正數．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的判別式．