Question

【題目】已知拋物線C1：y=x2+2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B左側），與y軸交于點C，拋物線C2：y=ax2+bx+c經過點B，與x軸的另一個交點為E（﹣4，0），與y軸交于點D（0，2）．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）設點P為線段AB上一動點（點P不與點A，B重合），過點P作x軸的垂線交拋物線C1于點M，交拋物線C2于點N．
①當四邊形AMBN的面積最大時，求點P的坐標；
②當CM=DN≠0時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=x2+2x﹣3中，令y=0可得0=x2+2x﹣3，解得x=﹣3或x=1，令x=0可得y=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），

設拋物線C2的解析式為y=ax2+bx+c，

把B、D、E三點坐標代入可得 ，解得 ，

∴拋物線C2的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：設P（x，0）（﹣3＜x＜1），則M（x，x2+2x﹣3），N（x，﹣ x2﹣ x+2），

①∵點P為線段AB上一動點，

∴MN=﹣ x2﹣ x+2﹣（x2+2x﹣3）=﹣ x2﹣ x+5，

∴S四邊形AMBN= ABMN= ×4（﹣ x2﹣ x+5）=﹣3x2﹣7x+10=﹣3（x+ ）2+ ，

∵﹣3＜0，

∴當x=﹣ 時，S四邊形AMBN有最大值，

此時P點坐標為（﹣ ，0）；

②分CM和DN平行和不平行兩種情況，

當CM與DN不平行時，如圖1，作MF⊥CD于F，NG⊥CD于G，

在Rt△MFC和Rt△NGD中

∴Rt△MFC≌Rt△NGD（HL），

∴FC=GD，

∴PM﹣PN=FO﹣OG=OC﹣OD=3﹣2=1，

∴﹣x2﹣2x+3﹣（﹣ x2﹣ x+2）=1，解得x=﹣1或x=0（舍去），

∴P（﹣1，0）；

當CM∥DN時，如圖2，

則四邊形MNDC為平行四邊形，

∴MN=CD=2+3=5，

∴﹣ x2﹣ x+5=5，解得x=0（舍去）或x=﹣ ，

∴P（﹣ ，0）；

綜上可知P點坐標為（﹣1，0）或（﹣ ，0）

【解析】（1）可先求得A、B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線C2的解析式；（2）可設P（x，0），①則可表示出M、N的坐標，可表示出MN的長，從而可用x表示出四邊形AMBN的面積，利用二次函數的性質可求得當其取最大值時x的值，可求得P點坐標；②分CM和DN平行和不平行兩種情況，分別構造全等三角形可得到關于x的方程，從而可求得P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．