Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E為垂足．求證：AB＋AD＝2AE.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

過點(diǎn)C作CH⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)H.利用角平分線性質(zhì)得CH＝CE，∠HCA＝∠ECA，證△ACH≌△ACE(AAS)，得AH＝AE.∠HBC＝∠D.再證△BHC≌△DEC(AAS)，得HB＝DE，

所以AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.

證明：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)H.

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，

∴CH＝CE，∠HCA＝∠ECA(等角的余角相等)．

在△ACH和△ACE中，

∴△ACH≌△ACE(AAS)，

∴AH＝AE.

又∵∠ABC＋∠HBC＝180°，

∠ABC＋∠D＝180°，

∴∠HBC＝∠D.

在△BHC和△DEC中，

∴△BHC≌△DEC(AAS)，

∴HB＝DE，

∴AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.