Question

【題目】已知，四邊形ABCD是長方形，F是DA延長線上一點，CF交AB于點E，G是CF上一點，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．

（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度數．
（2）若AF=12cm，AG=6.5cm，求△AEF中EF邊上的高？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是長方形，

∴DF∥BC，

∴∠AFC=∠ECB，

∵AC=AG，

∴∠ACG=∠AGC，

∵∠ACG=2∠GAF，∠AGC=∠GAF+∠F，

∴∠F=∠FAG，

∴∠ACG=2∠ECB，

∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB=60°，

∴∠ECB=20°；

（2）解：設△AEF中EF邊上的高為hcm，

∵∠F=∠FAG，

∴AG=GF，

∵∠BAF=90°，

∴∠EAG+∠GAF=90°，∠AEF+∠EFA=90°，

∴∠EAG=∠AEG，

∴EG=AG=GF，

∴EF=2AG=2×6.5=13（cm），

∴AE= =5（cm），

∵△AEF的面積= AEAF= EFh，

解得：h= cm，

即△AEF中EF邊上的高為 cm．

【解析】（1）可利用平行線的性質，內錯角相等可轉化∠ECB=∠AFC,再由“AG=AC，∠ACG=2∠GAF”得出∠F=∠FAG，進而得出∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB=60°，最后求出∠ECB的度數;（2）可證出EG=AG=GF，由勾股定理求出AE，再由面積法,即△AEF的面積= AEAF= EFh,求出h.
【考點精析】掌握三角形的面積和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．