Question

將一副直角三角板按如圖1所示方式擺放，其中∠ACB=∠BAD=90°，∠ADB=60°，∠BAC=45°，AC與BD相交于點O．
（1）求∠AOB的度數；
（2）把△ABC固定不動，將△ABD繞著點A順時針旋轉一個大小為α（0°＜α＜90°）的角，旋轉后的點B記為點B′．
①當α為多少度時，∠AOB′為直角？（如圖2）
②連接B B′，四邊形ACB B′可能為軸對稱圖形嗎？如果可能，請在圖3中畫出示意圖，并求出此時角α的度數；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得∠CBO，然后利用三角形外角的性質求得∠AOB的度數；
（2）若∠AOB′=90°，可以證得：BD∥BC，然后根據平行四邊形的性質即可求得；
（3）根據C=CB，因而當△ADB′的點B′旋轉到AB的垂直平分線上，那么四邊形AB′BC就是軸對稱圖形．

解答：解：如圖1，
（1）∵∠CBO=45°-30°=15°，∠C=90°，
∴∠AOB=∠CBO+∠C=15°+90°=105°；

（2）如圖2，
∵∠AOB′=90°，∠C=90°，
∴∠AOB′=∠C，
∴BD∥BC，
∴∠AEO=∠B=45°，
∴∠EAB′=∠AEO-∠B′=45°-30°=15°，
∴α=15°；

（3）當△ADB′的點B′旋轉到AB的垂直平分線上，那么四邊形AB′BC就是軸對稱圖形．
∴AB′=BB′=AB，
∴∠BAB′=60°，
∴α=60°．

點評：本題考查了平行線的性質，以及軸對稱圖形的性質，正確理解軸對稱圖形的性質是解題的關鍵．