Question

（2013•汕頭）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4

3

．將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖2，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D到點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M，則∠EMC=

15

度；
（2）如圖3，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求FC的長(zhǎng)；
（3）在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如題圖2所示，由三角形的外角性質(zhì)可得；
（2）如題圖3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；
（3）認(rèn)真分析三角板的運(yùn)動(dòng)過程，明確不同時(shí)段重疊圖形的變化情況：
（I）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如答圖1所示；
（II）當(dāng)2＜x≤6-2

3

時(shí)，如答圖2所示；
（III）當(dāng)6-2

3

＜x≤6時(shí)，如答圖3所示．

解答：解：（1）如題圖2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=4

3

，
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

3

，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如題圖3所示，當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，
FC=

AC

sin∠AFC

=

6

sin60°

=

6

3 2

=4

3

；

（3）在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中，
（I）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如答圖1所示：

設(shè)DE交BC于點(diǎn)G．
過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=

MN

tan60°

=

3

3

MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即

3

3

MN+x=MN，解得：MN=

3+ 3

2

x．
y=S_△BDG-S_△BFM
=

1

2

BD•DG-

1

2

BF•MN
=

1

2

（x+4）²-

1

2

x•

3+ 3

2

x
=-

3 +1

4

x²+4x+8；
（II）當(dāng)2＜x≤6-2

3

時(shí)，如答圖2所示：

過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，則△MNB為等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF=

MN

tan60°

=

3

3

MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即

3

3

MN+x=MN，解得：MN=

3+ 3

2

x．
y=S_△ABC-S_△BFM
=

1

2

AB•AC-

1

2

BF•MN
=

1

2

×6²-

1

2

x•

3+ 3

2

x
=-

3+ 3

4

x²+18；
（III）當(dāng)6-2

3

＜x≤6時(shí)，如答圖3所示：

由BF=x，則AF=AB-BF=6-x，
設(shè)AC與EF交于點(diǎn)M，則AM=AF•tan60°=

3

（6-x）．
y=S_△AFM=

1

2

AF•AM=

1

2

（6-x）•

3

（6-x）=

3

2

x²-6

3

x+18

3

．
綜上所述，y與x的函數(shù)解析式為：
y=

- 3 +1 4 x2+4x+8(0≤x≤2) - 3+ 3 4 x2+18(2＜x≤6-2 3 ) 3 2 x2-6 3 x+18 3 (6-2 3 ＜x≤6)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，解題關(guān)鍵是認(rèn)真分析三角板的運(yùn)動(dòng)過程，明確不同時(shí)段重疊圖形形狀的變化情況．在解題計(jì)算過程中，除利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算外，也可以利用三角形相似，殊途同歸．