Question

【題目】請完成下面的幾何探究過程：

(1)觀察填空

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D為斜邊AB上一動點(不與點A，B重合)，把線段CD繞點C順時針旋轉90°得到線段CE，連DE，BE，則

①∠CBE的度數為____________；

②當BE=____________時，四邊形CDBE為正方形．

(2)探究證明

如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，點D為斜邊AB上一動點(不與點A，B重合)，把線段CD繞點C順時針旋轉90°后并延長為原來的兩倍得到線段CE，連DE，BE則：

①在點D的運動過程中，請判斷∠CBE與∠A的大小關系，并證明；

②當CD⊥AB時，求證：四邊形CDBE為矩形

(3)拓展延伸

如圖2，在點D的運動過程中，若△BCD恰好為等腰三角形，請直接寫出此時AD的長．

Answer 1

【答案】（1）①45°，②；（2）①，理由見解析，②見解析；（3）或

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性質得出，由旋轉的性質得：，，證明，即可得出結果；

②由①得，求出，作于，則是等腰直角三角形，證出是等腰直角三角形，求出，證出四邊形是矩形，再由垂直平分線的性質得出，即可得出結論；

（2）①證明，即可得出；

②由垂直的定義得出，由相似三角形的性質得出，即可得出結論；

（3）存在兩種情況：①當時，證出，由勾股定理求出，即可得出結果；

②當時，得出即可．

解：（1）①，，

，

由旋轉的性質得：，，

在和中，，

，

；

故答案為：；

②當時，四邊形是正方形；理由如下：

由①得：，

，

作于，如圖所示：

則是等腰直角三角形，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

又，

四邊形是矩形，

又垂直平分，

，

四邊形是正方形；

故答案為：；

（2）①，理由如下：

由旋轉的性質得：，

，，

，

，

；

②，

，

由①得：，

，

又，

四邊形是矩形；

（3）在點的運動過程中，若恰好為等腰三角形，存在兩種情況：

①當時，則，

，，

，

，

，

，

，

；

②當時，；

綜上所述：若恰好為等腰三角形，此時的長為或．