Question

如圖，已知P為定角O的角平分線上的定點，過O、P兩點任作一圓與角的兩邊分別交于A、B兩點．
求證：OA+OB是定值．

Answer 1

證明：連接AP、BP，由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦，
∴AP=PB，
不妨記為r．另記x₁=OA，x₂=OB．
對△POA應用余弦定理，
得x₁²+OP²-2OP•cos∠AOP•x₁=r²．
故x₁為方程x²-2OP•cos∠AOB•x+（OP²-r²）=0的根，
同理x₂亦為其根．
因此x₁，x₂為此方程的兩根，由韋達定理，
得x₁+x₂=2OP是定值．
分析：先連接AP、BP，由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦，∴AP=PB，對△POA應用余弦定理，再根據(jù)根與系數(shù)的關系即可證明．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系及圓周角定理，難度適中，關鍵是根據(jù)余弦定理構造方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系進行證明．