Question

如圖：已知在平面直角坐標系中點A（a，b）點B（a，0），且滿足|2a-b|+（a-4）²=0．
（1）求點A、點B的坐標．
（2）已知點C（0，b），點P從B點出發沿x軸負方向以1個單位每秒的速度移動．同時點Q從C點出發，沿y軸負方向以2個單位每秒的速度移動，某一時刻，如圖所示且S_陰=

1

2

S_{四邊形OCAB}，求點P移動的時間？
（3）在（2）的條件下，AQ交x軸于M，作∠ACO，∠AMB的角平分線交于點N，判斷

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

是否為定值，若是定值求其值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的性質易得a=2，b=4，則點A的坐標為（2，4）、點B的坐標（2，0）；
（2）設P點運動時間為ts，則t＞2，則P點坐標可表示為（2-t，0），Q點坐標表示為（0，4-2t），用待定系數法確定直線AQ的解析式為y=（t-1）x+4-2t，則可確定直線AQ與x軸交點坐標為（

2t-4

t-1

，0），根據題意得

1

2

（

2t-4

t-1

+t-2）×4+

1

2

×

2t-4

t-1

×（2t-4）=

1

2

×2×4，然后解方程求出t的值；
（3）先根據角平分線定義得∠ACN=45°，∠1=∠2，再由AC∥BP得∠CAM=∠AMB=2∠1，然后根據三角形內角和定理得∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，所以∠N=45°+∠1，再根據三角形外角性質得∠AMB=∠APB+∠PAQ，即∠APB+∠PAQ=2∠1，接著根據三角形內角和定理得∠AQC+∠OMQ=90°，利用∠OMQ=2∠1可得∠AQC=90°-2∠1，最后用∠1表示式子

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

中的角，約分即可得到

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

=

1

2

．

解答：解：（1）∵|2a-b|+（b-4）²=0．
∴2a-b=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴點A的坐標為（2，4）、點B的坐標（2，0）；

（2）如圖2，設P點運動時間為ts，則t＞2，所以P點坐標為（2-t，0），Q點坐標為（0，4-2t），
設直線AQ的解析式為y=kx+4-2t，
把A（2，4）代入得2k+4-2t=4，解得k=t-1，
∴直線AQ的解析式為y=（t-1）x+4-2t，
直線AQ與x軸交點坐標為（

2t-4

t-1

，0），
∴S_陰影=

1

2

（

2t-4

t-1

+t-2）×4+

1

2

×

2t-4

t-1

×（2t-4），
而S_陰=

1

2

S_{四邊形OCAB}，
∴

1

2

（

2t-4

t-1

+t-2）×4+

1

2

×

2t-4

t-1

×（2t-4）=

1

2

×2×4，
整理得2t²-7t+4=0，
解得t₁=

7+ 17

4

，t₂=

7- 17

4

（舍去），
∴點P移動的時間為

7+ 17

4

s；

（3）

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

為定值．理由如下：
如圖3，∵∠ACO，∠AMB的角平分線交于點N，
∴∠ACN=45°，∠1=∠2，
∵AC∥BP，
∴∠CAM=∠AMB=2∠1，
∵∠ACN+∠CAM=∠N+∠1，
∴45°+2∠1=∠N+∠1，
∴∠N=45°+∠1，
∵∠AMB=∠APB+∠PAQ，
∴∠APB+∠PAQ=2∠1，
∵∠AQC+∠OMQ=90°，
而∠OMQ=2∠1，
∴∠AQC=90°-2∠1，
∴

∠N-∠APB-∠PAQ

∠AQC

=

45°+∠1-2∠1

90°-2∠1

=

1

2

．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了三角形外角性質、坐標與圖形性質以及三角形面積公式．