Question

如圖：已知P為⊙O直徑AB上任意一點，弦CD過P且與AB交成45°角．求證：PC²+PD²為定值．

Answer 1

證明：當點p與O點重合時，
PC²+PD²=2圓O的半徑的平方
當點P為一般情況時，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，連接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，則∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC²=CM²+OM²，OD²=DN²+ON²
∴OC²=CM²+PN²，OD²=DN²+PM²
∴OC²+OD²=CM²+PN²+DN²+PM²=PC²+PD²，
因此PC²+PD²=2圓O的半徑的平方（為定值）．
分析：分類討論（1）P點與O點重合，（2）P為一般情況，求證Rt△ODN≌Rt△COM，得ON=CM=PM，OM=ND=PN，從而求證OC²+OD²=PC²+PD²為定值．
點評：本題考查了在圓中構建三角形運用勾股定理解直角三角形，本題中求證PC²+PD²=2OC²是解題的關鍵．