Question

【題目】如圖，已知一次函數y=mx+5的圖象經過點A（1，4）、B（n ， 2）.

（1）求m、n的值；
（2）當函數圖象在第一象限時，自變量x的取值范圍是什么？
（3）在x軸上找一點P，使PA+PB最短。求出點P的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（1，4）代入y= mx+5得：

4=m+5

解得：m= -1

∴y= -x+5

將B（n，2）代入y= -x+5得：

2= -n+5

解得：n=3

∴m、 n的值分別是-1、3

（2）

解：依題可得：

∴0＜x＜5

（3）

解：作點A關于x軸的對稱點A′

∵A（1，4）

∴A′(1，-4)

連接A′B交x軸于點P，此時點P為所求的點

設直線A′B的解析式為y= kx+b，將A′(1，-4)、B（3，2）得：

解得：

∴直線A′B的解析式為：

當y=0時，

解得：

∴P（ ，0）

【解析】（1）將A（1，4）代入y= mx+5得m= -1，所以y= -x+5；再將B（n ， 2）代入y= -x+5得：n=3。
（2）由函數圖像在第一象限可以得到一個二元一次方程組,解此方程即可。
（3）作點A（1，4）關于x軸的對稱點A′(1，-4)，連接A′B交x軸于點P，此時點P為所求的點。用待定系數法的得到一個二元一次方程組:
.從而求得直線A′B的解析式為：y=3x7 ；令y=0即可求得P（ ，0）.
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和軸對稱-最短路線問題，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑即可以解答此題．