Question

【題目】如圖，已知二次函數（b，c為常數）的圖象經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數圖象于點B，連結BC．

（1）求該二次函數的解析式及點M的坐標；

（2）若將該二次函數圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；

（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結果，不必寫解答過程）．

Answer 1

【答案】（1），M（1，5）；（2）2＜m＜4；（3）P1（，），P2（，），P3（3，1），P4（﹣3，7）．

【解析】（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數，得： 解得：，∴二次函數解析式為，配方得，∴點M的坐標為（1，5）；

（2）設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得： 解得：，∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F．

把x=1代入直線AC解析式y=﹣x+4解得y=3，則點E坐標為（1，3），點F坐標為（1，1），∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

（3）連接MC，作MG⊥y軸并延長交AC于點N，則點G坐標為（0，5）．

∵MG=1，GC=5﹣4=1，∴MC===，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，則點N坐標為（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若點P在AC上，則∠MCP=90°，則點D與點C必為相似三角形對應點．

①若有△PCM∽△BDC，則有，∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若點P在y軸右側，作PH⊥y軸，∵∠PCH=45°，CP=，∴PH==，把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（，）；

同理可得，若點P在y軸左側，則把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P2（，）；

②若有△PCM∽△CDB，則有，∴CP==，∴PH==3；

若點P在y軸右側，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；

若點P在y軸左側，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7

∴P3（3，1）；P4（﹣3，7），∴所有符合題意得點P坐標有4個，分別為P1（，），P2（，），P3（3，1），P4（﹣3，7）．