Question

【題目】圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測P處，仰角分別為α、β，且tanα=，tanβ=，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系．

（1）求點P的坐標；

（2）水面上升1m，水面寬多少（取1.41，結果精確到0.1m）？

Answer 1

【答案】（1）P（3，）；（2）2.8米．

【解析】

試題分析：（1）過點P作PH⊥OA于H，如圖，設PH=3x，運用三角函數可得OH=6x，AH=2x，根據條件OA=4可求出x，即可得到點P的坐標；

（2）若水面上升1m后到達BC位置，如圖，運用待定系數法可求出拋物線的解析式，然后求出y=1時x的值，就可解決問題．

試題解析：（1）過點P作PH⊥OA于H，如圖．

設PH=3x，在Rt△OHP中，∵tanα=，∴OH=6x．

在Rt△AHP中，∵tanβ==，∴AH=2x，∴OA=OH+AH=8x=4，∴x=，∴OH=3，PH=，∴點P的坐標為（3，）；

（2）若水面上升1m后到達BC位置，如圖，過點O（0，0），A（4，0）的拋物線的解析式可設為y=ax（x﹣4），∵P（3，）在拋物線y=ax（x﹣4）上，∴3a（3﹣4）=，解得a=，∴拋物線的解析式為．

當y=1時，，解得，，∴BC=（）﹣（）==2×1.41=2.82≈2.8．

答：水面上升1m，水面寬約為2.8米．