Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M為BC的中點．⊙A的半徑為3，動點O從點B出發沿BC方向以每秒1個單位的速度向點C運動，設運動時間為t秒．
（1）當以OB為半徑的⊙O與⊙A相切時，求t的值；
（2）探究：在線段BC上是否存在點O，使得⊙O與直線AM相切，且與⊙A相外切？若存在，求出此時t的值及相應的⊙O的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵AB=AC，M為BC中點
∴AM⊥BC
在Rt△ABM中，AB=10，BM=8∴AM=6．（1分）
當⊙O與⊙A相外切
可得（t+3）²=（8-t）²+6²解得t=

91

22

（3分）
當⊙O與⊙A相內切
可得（t-3）²=（t-8）²+6²解得t=

91

10

（5分）
∴當t=

91

22

或t=

91

10

時，⊙O與⊙A相切．
（2）存在
當點O在BM上運動時（0＜t≤8））
可得（8-t）²+6²=（8-t+3）²解得t=

7

2

（8分）
此時半徑r=

9

2

當點O在MC上運動時（8＜t≤16））
可得（t-8）²+6²=（t-8+3）²解得t=

25

2

（10分）
此時半徑r=

9

2

當t=

7

2

或t=

25

2

時，r=

9

2

，⊙O與直線AM相切并且與⊙A相外切．