Question

如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）設AC和DE交于點M，若AD=6，BD=8，求ED與AM的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質求出AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠DCE=90°，求出∠ACE=∠BCD，根據(jù)SAS證出即可；
（2）根據(jù)全等求出AE=BD=8，∠EAC=∠B，求出∠EAD=90°，根據(jù)勾股定理求出DE即可；過C作CN⊥ED于N，過A作AG⊥DE于G，根據(jù)三角形的面積公式求出AG，根據(jù)直角三角形性質求出DN，求出NG、CN，根據(jù)AG∥CN得出比例式，求出MG，在△AGM中，根據(jù)勾股定理求出AM即可．

解答：（1）證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD．

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=8，∠EAC=∠B，
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠EAB=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：DE=

62+82

=10，
過C作CN⊥ED于N，過A作AG⊥DE于G，
∴AG∥CN，
在△AED中，由三角形的面積公式得：AE×AD=DE×AG，
∴AG=

6×8

10

=

24

5

，
在Rt△CED中，CE=CD，∠ECD=90°，CN⊥DE，
∴EN=DN=

1

2

DE=5，
在△DGA中，由勾股定理得：DG=

AD2-AG2

=

18

5

，
∴NG=5-

18

5

=

7

5

，
∵AG∥CN，
∴

GM

MN

=

AG

CN

=

24 5

5

=

24

25

，
∴

MG

7 5 -MG

=

24

25

，
∴MG=

24

35

，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM=

AG2+GM2

=

( 24 5 )2+( 24 35 )2

=

24

7

2

，即AM=

24

7

2

．

點評：本題考查了等腰三角形性質，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性質和判定等知識點的運用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，題目比較典型，有一定的難度．