Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE，過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝．其中正確結論的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

作BF⊥AE于F，根據正方形的性質證明△APD≌△AEB即可判斷①，根據△AEP為等腰直角三角形，得到∠APD＝135°，再求出∠PEB=90°，即可判斷③，根據Rt△PED中，求出BE＝，再求出△BEF為等腰直角三角形，利用BF＝BE即可求出BF即可判斷②，再根據S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP+S△PBE即可求出④的正確性.

解：作BF⊥AE于F，如圖，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵AP⊥AE，

∴∠EAP＝90°，即∠2+∠3＝90°，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△APD和△AEB中

，

∴△APD≌△AEB，所以①正確；

∵AE＝AP，∠PAE＝90°，

∴△AEP為等腰直角三角形，

∴∠4＝∠5＝45°，

∴∠APD＝135°，

∵△APD≌△AEB，

∴∠AEB＝∠APD＝135°，

∴∠PEB＝135°﹣∠4＝90°，

∴BE⊥ED，所以③正確；

在Rt△PED中，BE＝，

在Rt△BEF中，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝45°，

∴△BEF為等腰直角三角形，

∴BF＝BE＝×＝，所以②錯誤；

∵△APD≌△AEB，

∴S△APD＝S△AEB，

∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP+S△PBE＝×1×1+××＝，所以④正確．

故答案為①③④．