Question

【題目】已知△ABC與△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC=4，AD=DE，點F是BE的中點，連接DF，CF.

(1)如圖1，當點D在AB上，且點E是AC的中點時，求CF的長.
(2)如圖1，若點D落在AB上，點E落在AC上，證明：DF⊥CF.
(3)如圖2，當AD⊥AC，且E點落在AC上時，判斷DF與CF之間的關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) CF=；(2)見解析； (3)DF與CF相等且垂直.證明見解析.

【解析】

（1）在直角△BCE中，利用“勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”解答；
（2）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（3）DF與CF相等且垂直．如圖2，延長DE交BC于點G，連接FG，易證DG⊥BC．構建矩形ADGC，結合矩形的性質推知△DEF≌△CGF，由該全等三角形的性質推知：DF與CF相等且垂直．

(1)如圖1，∵AC=BC=4，點E是AC的中點，

∴EC=2.
在直角△BCE中,BE2=BC2+CE2=20，
∴BE=.
∵CF是直角△BCE斜邊上的中線，
∴CF==；
(2)證明：如圖1,∵∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點

∴DF=BE,CF=BE，
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF.
(3)DF與CF相等且垂直.
如圖2，延長DE交BC于點G，連接FG，易證DG⊥BC.

∵∠DEA=45°，
∴∠BEG=45°,∠DEF=135°.
又∵∠B=45°，
∴BG=EG.
∵點F是BE的中點，
∴FG=FE,FG⊥BE,∠EGF=45°，
∴∠FGC=∠EGF+EGC=135°，
∴∠DEF=∠CGF.
又∵∠ADE=90°,∠ACB=90°，DG⊥BC，
∴四邊形ADGC是矩形，
∴AD=GC，
∴DE=GC，
∴△DEF≌△CGF（SAS）,
∴∠DFE=∠CFG，DF=CF.
∵∠DFE+∠CFE=90°，
∴CF⊥DF，
∴DF與CF相等且垂直.