Question

17．如圖，在△ABC中，點D在∠ACB的平分線上，過點D作BC的平行線與∠ACB的外角平分線相交于點E，DE交AC于點F
（1）判斷△CDE的形狀，并說明理由；
（2）判斷DF與EF的大小關系，并說明理由；
（3）若調整點D的位置，使DE與CA的延長線相交于點F，（2）中結論成立嗎？

Answer 1

分析 （1）結論：△CDE是直角三角形，只要證明∠DCE=90°即可．
（2）結論：DF=EF．只要證明DF=FC，FC=EF即可．
（3）結論仍然成立，理由類似（2）．

解答 解：（1）結論：△CDE是直角三角形．
理由：∵∠DCB=∠DCA，∠ECF=∠ECG，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACG）=90°，
∴△EDC是直角三角形．

（2）結論：DF=EF．
理由：∵DE∥BC，
∴∠FDC=∠DCB，∠E=∠ECG，
∵∠DCB=∠DCA，∠ECA=∠ECG，
∴∠FDC=∠FCD，∠E=∠FCE，
∴DF=FC，FC=EF，
∴DF=EF．

（3）如圖2中，結論仍然成立：DF=EF．
理由：∵DE∥BC，
∴∠FDC=∠DCB，∠E=∠ECG，
∵∠DCB=∠DCA，∠ECA=∠ECG，
∴∠FDC=∠FCD，∠E=∠FCE，
∴DF=FC，FC=EF，
∴DF=EF．

點評 本題考查等腰三角形的性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于基礎題，中考常考題型．