Question

9．如圖，G為BC的中點，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
（1）求證：AD是∠BAC的平分線；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）因為G為BC的中點，且DG⊥BC，則DG是線段BC的垂直平分線，考慮連接DB、DC，利用線段的垂直平分線的性質，又因為DE⊥AB，DF⊥AC，可通過DE=DF說明AD是∠BAC的平分線；
（2）先通過△AED與△ADF的全等關系，說明AE與AF的關系，利用線段的和差關系，通過線段的加減求出AE的長．

解答 解：（1）連接BD、DC
∵DG⊥BC，G為BC的中點，
∴BD=CD，
∵DG⊥BC，DE⊥AB
∴∠BED=∠CFD，
在Rt△DBE和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△DBE≌△DFC
∴DE=DF，
∴∠BAD=∠FAD
∴AD是∠BAC的平分線；
（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD
∴△AED≌△ADF，
∴AE=AF
∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，
∴AB+AC=AE+AF，
∵AB=8，AC=6，
∴8+6=2AE，
∴AE=7．

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質和判定、角的平分線的性質與判定以及三角形的全等．利用線段的和差及等式的性質是解決本題的關鍵．