Question

【題目】如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E.

(1)求證：IE＝BE；

(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DE＝2.

【解析】

（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據三角形的外角的性質、三角形的內心是三角形的角平分線的交點以及圓周角定理的推論即可證明；
（2）IE的長，即是BE的長，則可以把要求的線段和已知的線段構造到兩個相似三角形中，進行求解．

解： 連結IB.

∵點I是△ABC的內心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.

又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，

∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，

∴BE＝IE；　

(2)在△BED和△AEB中，

∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，

∴△BED∽△AEB，

∴＝.

∵IE＝4，

∴BE＝4.

∵AE＝8，

∴DE＝＝2.