Question

【題目】數學活動課上，老師提出了一個問題：

我們知道，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，那么三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系？

（1）獨立思考，請你完成老師提出的問題：

如圖所示，已知∠DBC和∠BCE分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A和∠DBC，∠BCE之間的數量關系.

解：

⑵合作交流，“創新小組”受此問題的啟發：分別作外角∠CBD和∠BCE的平分線BF和CF，交于點F（如圖所示），那么∠A與∠F之間有何數量關系？請寫出解答過程.

Answer 1

【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180（2）∠A+∠F=90

【解析】

（1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，三角形內角和定理計算即可.

（2）根據角平分線可知∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠BCE，）再根據三角形內角和定理，結合（1）即可解答.

⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180.

∠DBC+∠BCE

=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A

=180°+∠A

即∠DBC+∠BCE－∠A=180.

（2） ∠A+∠F=90°

∵BF和CF分別平分∠CBD和∠BCE，

∴∠CBF= ∠CBD，∠BCF= ∠BCE.

∴∠CBF+∠BCF= (∠CBD+∠BCE).

∵∠CBF+∠BCF=180－∠F，∠DBC+∠BCE=180+∠A.

∴180－∠F = （∠CBD+∠BCE）= (180+∠A)

∴ ∠A+∠F=90.