Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過BC延長線上一點G，作GD⊥AO于點D，交AC于點E，交⊙O于點F，M是GE的中點，連接CF，CM．

（1）判斷CM與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的長．

Answer 1

【答案】（1）CM與⊙O相切，理由見解析；（2）MF=．

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再根據斜邊上的中線性質得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接著證明∠1+∠2=90°，從而得到∠OCM=90°，然后根據直線與圓的位置關系的判斷方法可判斷CM為⊙O的切線；

（2）先證明∠G=∠A，再證明∠EMC=∠4，則可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先計算出CE，再計算出EF，然后計算ME-EF即可．

解:（1）CM與⊙O相切．理由如下：

連接OC，如圖，

∵GD⊥AO于點D，

∴∠G+∠GBD=90°，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵M點為GE的中點，

∴MC=MG=ME，

∴∠G=∠1，

∵OB=OC，

∴∠B=∠2，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠OCM=90°，

∴OC⊥CM，

∴CM為⊙O的切線；

（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，

∴∠1=∠5，

而∠1=∠G，∠5=∠A，

∴∠G=∠A，

∵∠4=2∠A，

∴∠4=2∠G，

而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，

∴∠EMC=∠4，

而∠FEC=∠CEM，

∴△EFC∽△ECM，

∴，即，

∴CE=4，EF=，

∴MF=ME﹣EF=6﹣=．