Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，P為AB邊上一點，連接CP，以PA、PC為鄰邊作?APCD，AC與PD相交于點E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求證：∠EAP=∠EPA；
（2）?APCD是否為矩形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可知∠ACB=∠CAB，再由三角形內(nèi)角和定理即可證出∠AEP=∠EAP；
（2）利用對角線相等的平行四邊形是矩形進行判定．

解答：證明：（1）在△ABC和△AEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴∠ACB=∠APE
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠AEP+∠EAP+∠EPA=180°，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：平行四邊形APCD是矩形．
∵四邊形APCD是平行四邊形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
∴AC=PD，
∴平行四邊形APCD是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合運用．