Question

【題目】在已知線段AB的同側(cè)構(gòu)造∠FAB＝∠GBA，并且在射線AF，BG上分別取點(diǎn)D和E，在線段AB上取點(diǎn)C，連結(jié)DC和EC．

Ⅰ、如圖，若AD＝3，BE＝1，△ADC≌△BCE．在∠FAB＝∠GBA＝60或∠FAB＝∠GBA＝90兩種情況中任選一種，解決以下問題：
①線段AB的長度是否發(fā)生變化，直接寫出長度或變化范圍；
②∠DCE的度數(shù)是否發(fā)生變化，直接寫出度數(shù)或變化范圍．
Ⅱ、若AD＝a，BE＝b，∠FAB＝∠GBA＝α，且△ADC和△BCE這兩個(gè)三角形全等，請求出：
①線段AB的長度或取值范圍，并說明理由；
②∠DCE的度數(shù)或取值范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】選圖一
Ⅰ、①AB＝4，不變；
②∠DCE＝60.
Ⅱ、當(dāng)a b時(shí)，①AB＝ a＋b； ②∠DCE＝α
當(dāng)a=b時(shí)，①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
選圖二
Ⅰ、① AB＝4，不變； ②∠DCE＝90.
Ⅱ、當(dāng)a b時(shí)，①AB＝ a＋b； ②∠DCE＝α
當(dāng)a=b時(shí)，① AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
【解析】選圖一
Ⅰ、①∵△ADC≌△BCE，
∴BC=AD=3，AC=BE=1，
∴AB=AC+BC=4，
即AB＝4，不變；
②∵∠FAB＝∠GBA＝60，
∴∠ADC+∠ACD=120，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=120，
∴∠DCE＝60.
Ⅱ、當(dāng)a b時(shí)，則△ADC≌△BCE，
①∵△ADC≌△BCE，∴BC=AD=a，AC=BE=b，則AB＝ a＋b；
②∠DCE＝α
當(dāng)a=b時(shí)，則△ADC≌△BEC，∴AC=BC，則
①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
選圖二
Ⅰ、①∵△ADC≌△BCE，
∴BC=AD=3，AC=BE=1，
∴AB=AC+BC=4，
即AB＝4，不變；
②∵∠FAB＝∠GBA＝90，
∴∠ADC+∠ACD=90，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=90，
∴∠DCE＝90.
Ⅱ、當(dāng)a b時(shí)，則△ADC≌△BCE，
①∵△ADC≌△BCE，∴BC=AD=a，AC=BE=b，則AB＝ a＋b；
②∵∠FAB＝∠GBA＝α，
∴∠ADC+∠ACD=180-α，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=180-α，
則∠DCE＝α；
當(dāng)a=b時(shí)，則△ADC≌△BEC，∴AC=BC，則
①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
根據(jù)△ADC與△BCE各對頂點(diǎn)和各對應(yīng)邊，且已知∠FAB＝∠GBA，所以A與B對應(yīng)，
在Ⅰ中，根據(jù)△ADC≌△BCE，得到對應(yīng)邊相等，由等量代換得到AB的長，根據(jù)對應(yīng)角相等、三角形內(nèi)角和與平角的定義可求得∠DCE；
在Ⅱ中要分D與C對應(yīng)和D與E對應(yīng)就這兩種情況討論，做法與Ⅰ中類似.