Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）若點P在線段AB上．如圖2，連接AC，當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ACE是直角三角形，理由見解析.

【解析】分析：(1)根據四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，證明△APE≌△CFE；(2)分別判斷△ABC，△APE是等腰直角三角形得∠CAE＝90°.

詳解：(1)∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，

∴AB＝BC，BP＝BF，∴AP＝CF，

在△APE和△CFE中，

AP＝CF，∠P＝∠F，PE＝EF，

∴△APE≌△CFE，

∴EA＝EC；

(2)∵P為AB的中點，

∴PA＝PB，又PB＝PE，

∴PA＝PE，

∴∠PAE＝45°，又∠DAC＝45°，

∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形.