Question

【題目】把幾個數用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：{1，2，﹣3}、{﹣2，7，，19}，我們稱之為集合，其中的每個數稱為該集合的元素．如果一個所有元素均為有理數的集合滿足：當有理數a是集合的元素時，2015﹣a也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集合．例如集合{2015，0}就是一個好的集合．

（1）集合{2015}_____好的集合，集合{﹣1，2016}_____好的集合（兩空均填“是”或“不是”）；

（2）若一個好的集合中最大的一個元素為4011，則該集合是否存在最小的元素？如果存在，請直接寫出答案，否則說明理由；

（3）若一個好的集合所有元素之和為整數M，且22161＜M＜22170，則該集合共有幾個元素？說明你的理由．

Answer 1

【答案】不是是

【解析】

（1）根據有理數a是集合的元素時，2015-a也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集合，從而可以可解答本題；
（2）根據2015-a，如果a的值越大，則2015-a的值越小，從而可以解答本題；
（3）根據題意可知好的集合都是成對出現的，并且這對對應元素的和為2015，然后通過估算即可解答本題．

解：(1)根據題意可得20152015=0,而集合{2015}中沒有元素0,故{2015}不是好的集合；

∵2015(1)=2016，20152016=1，

∴集合{1,2016}是好的集合.

故答案為：不是，是.

(2)一個好的集合中最大的一個元素為4001，則該集合存在最小的元素，該集合最小的元素是1986.

∵2015a中a的值越大，則2015a的值越小，

∴一個好的集合中最大的一個元素為4001，則最小的元素為：20154001=1986.

(3)該集合共有22個元素.

理由：∵在好的集合中，如果一個元素為a，則另一個元素為2015a，

∴好的集合中的元素一定是偶數個.

∵好的集合中的每一對對應元素的和為：a+2015a=2015，2015×11=22165，2015×10=20150，2015×12=24180，

又∵一個好的集合所有元素之和為整數M，且22161<M<22170，

∴這個好的集合中的元素個數為：11×2=22個.