Question

【題目】如圖1，對于平面上不大于的，我們給出如下定義：若點P在的內部或邊界上，作于點E，．于點，則稱為點P相對于的“優點距離”，記為

如圖2，在平面直角坐標系xOy中，對于，點P為第一象限內或兩條坐標軸正半軸上的動點，且滿足5，點P運動形成的圖形記為圖形G．

（1）滿足條件的其中一個點P的坐標是 __，圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于 __ ；

（2）設圖形G與x軸的公共點為點A，如圖3，已知，，求的值；

（3）如果拋物線經過（2）中的A，B兩點，點Q在A，B兩點之間的物線上（點Q可與A，B兩點重合），求當取最大值時，點Q 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的其中一個點P的坐標是（5，0）；（說明：點P（x，y）的坐標滿足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可），圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于．

（2）d（M，∠AOB）=；

（3）點Q的坐標為（4，）．

【解析】

試題（1）點P（x，y）的坐標滿足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可， 圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于；

（2）作ME⊥OB于點E，MF⊥x軸于點F，則MF =1，作MD∥x軸，交OB于點D，作BK⊥x軸于點K．

由點B的坐標為B（3，4），可求得直線OB對應的函數關系式為y=x．從而確定 點D的坐標為D（，1），DM=4-=．從而可得 OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，繼而得ME=DM·sin∠MDE=，從而得d（M，∠AOB）=；

（3）由待定系數法得拋物線對應的函數關系式為y=-x2+2x+；作QG⊥OB于點G，QH⊥x軸于點H．作QN∥x軸，交OB于點N．設點Q的坐標為Q（m，n），其中3≤m≤5，則QH=n=-m2+2m+；同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=，從而得點N的坐標為N（n，n），NQ=m-n．繼而得 QG=m-n，從而得d（Q，∠AOB）=-（m-4）2+， 進而得 當m=4（在3≤m≤5范圍內）時，d（Q，∠AOB）取得最大值（）．

此時點Q的坐標為（4，）．

試題解析：（1）滿足條件的其中一個點P的坐標是（5，0）；（說明：點P（x，y）的坐標滿足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）

圖形G與坐標軸圍成圖形的面積等于．

如答圖1，作ME⊥OB于點E，MF⊥x軸于點F，則MF =1，作MD∥x軸，交OB于點D，作BK⊥x軸于點K．

由點B的坐標為B（3，4），可求得直線OB對應的函數關系式為y=x．∴ 點D的坐標為D（，1），DM=4-=．

∴ OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，∴ME=DM·sin∠MDE=×=，∴d（M，∠AOB）=ME+MF=+1=；

（3）∵ 拋物線y=-x2+bx+c經過A（5，0），B（3，4）兩點，

∴，解得，∴ 拋物線對應的函數關系式為y=-x2+2x+；

如答圖2，作QG⊥OB于點G，QH⊥x軸于點H．作QN∥x軸，交OB于點N．

設點Q的坐標為Q（m，n），其中3≤m≤5，則QH=n=-m2+2m+；同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=．

∴ 點N的坐標為N（n，n），NQ=m-n．∴ QG=NQ·sin∠QNG=（m-n）=m-n．

∴d（Q，∠AOB）=QG+QH=m-n+n=m+n=m+（-m2+2m+）=-（m-4）2+，

∴ 當m=4（在3≤m≤5范圍內）時，d（Q，∠AOB）取得最大值．

此時點Q的坐標為（4，）．