Question

（1）“三等分角”是數學史上一個著名問題，但數學家已經證明，僅用尺規不可能“三等分任意角”，但對于特定度數的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺規進行三等分的，如圖a，∠AOB=90°，我們在邊OB上取一點C，用尺規以OC為一邊向∠AOB內部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規作出∠DOB的角平分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三等分，仔細體會一下其中的道理，然后用尺規把圖b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）；（不需寫作法，但需保留作圖痕跡，允許適當添加文字的說明）

（2）數學家帕普斯借助函數給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數的圖象交于點P，以P為圓心、2OP長為半徑作弧交圖象于點R， 分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB，要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：
①設、，求直線OM對應的函數關系式（用含a、b的代數式表示）；
②分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q，請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=∠AOB。

Answer 1

解：（1），
我們在邊ON上取一點A，用尺規以OA為一邊向∠MON的外部作等邊△OAB，用尺規作出∠AOB的角平分線OC，再用尺規作出∠CON的角平分線OD，則射線OD、OC將∠MON三等分；
（2）①因為P（a，），R（b，）且是分別過點P和R作x軸和y軸的平行線；
所以M（b，）
設OM的函數表達式為y=kx，
，
所以y=；
②因為P（a，1/a），R（b，1/b）且是分別過點P和R作x軸和y軸的平行線
所以Q（a，1/b）
因為Q在OM上，
所以把Q（a，y）代入y=x/ab，y=1/b
因為1/b=1/b，
所以Q在OM上易證得四邊形PQRM為矩形
所以PS=RS=OS=MS
所以∠SQR=∠SRQ，
因為∠PSQ為△SQR外角
所以∠PSQ=2∠SQR，
因為QR平行于x軸，
所以∠SQR=∠SOH
因為PR=2PO，
所以PO=PS
所以∠PSQ=∠POS，
所以∠POS=2∠SQR
所以∠POS=2∠SOH，
所以∠MOB=∠AOB。