Question

“三等分角”是數學史上一個著名的問題，但僅用尺規不可能“三等分角”．下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數y=

1

x

的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=

1

3

∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：
（1）設P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

），求直線OM對應的函數表達式（用含a，b的代數式表示）；
（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=

1

3

∠AOB；
（3）應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）．

Answer 1

分析：（1）直線OM是正比例函數，可利用所給的坐標得到M的坐標，代入函數解析式即可；
（2）根據所給的點的坐標得到Q的坐標，看是否符合（1）中的函數解析式；運用矩形的性質，作圖過程中的條件，外角與不相鄰內角的關系，即可得證；
（3）既然能作出銳角的三等分角，先將此鈍角的一半（銳角）三等分，再作鈍角的三等分角．

解答：解：（1）設直線OM的函數關系式為y=kx，P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

）．（1分）
則M（b，

1

a

），
∴k=

1

a

÷b=

1

ab

．（2分）
∴直線OM的函數關系式為y=

1

ab

x．（3分）

（2）∵Q的坐標（a，

1

b

），滿足y=

1

ab

x，
∴點Q在直線OM上．
∵四邊形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=

1

2

PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=

1

2

PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一個外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠MOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠MOB．（9分）
∴∠MOB=

1

3

∠AOB．（10分）

（3）①先做出鈍角的一半，按照上述方法先將此鈍角的一半（銳角）三等分，進而做出再做一個角與已做得的角相等即可得到鈍角的三等分角．
②先作鈍角的鄰補角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等邊三角形可得鈍角的三等分角，在鈍角內作做出這個角即可．

點評：過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式．注意使用作圖過程中利用的條件．