Question

（2012•菏澤）如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到△A′B′O．
（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；
（2）設點P是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉的性質得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）利用S_{四邊形PB′A′B}=S_△B′OA′+S_△PB′O+S_△POB，再假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點坐標即可；
（3）利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質得出答案即可．

解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（-1，0），B′（0，2）．----------（1分）
方法一：
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線經過點A′、B′、B，
∴

0=a-b+c 2=c 0=4a+2b+c

，
解得：

a=-1 b=1 c=2

，
∴滿足條件的拋物線的解析式為y=-x²+x+2．----------（3分）
方法二：∵A′（-1，0），B′（0，2），B（2，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-2）
將B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0-2），
解得：a=-1，
故滿足條件的拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-2）=-x²+x+2；

（2）∵P為第一象限內拋物線上的一動點，
設P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=-x²+x+2．
連接PB，PO，PB′，
∴S_{四邊形PB′A′B}=S_△B′OA′+S_△PB′O+S_△POB，
=

1

2

×1×2+

1

2

×2×x+

1

2

×2×y，
=x+（-x²+x+2）+1，
=-x²+2x+3．----------（5分）
∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：

1

2

×1×2=1，
假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則
4=-x²+2x+3，
即x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
此時y=-1²+1+2=2，即P（1，2）．----------（7分）
∴存在點P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．----------（8分）

（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質中的任意2個均可．
①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對角線相等；
③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．----------（10分）
或用符號表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．----------（10分）

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰梯形性質等知識，利用四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍得出等式方程求出x是解題關鍵．